受験数学

逆関数の存在条件について

2020年2月1日

数学Ⅲの分数関数や無理関数の章で逆関数という言葉が登場します。

教科書ではかなりスルーされますが、逆関数は微積と融合されて、その知識を持ってれば結構あっさり解ける入試問題もあります。

ナナナイル
今日は逆関数でスルーしがちな存在条件について簡単な方法を伝授します!

逆関数は微積と融合されるパターンが多い!

まずは前提として逆関数そのものを扱い出すのは大学数学です。

大学入試では微積と融合されてきます。

ナナナイル
特に積分を用いて面積を求める問題で逆関数の知識があれば結構あっさり解ける問題も散見されます!
メメメイナ
数検で言えば準1級が対応する級ですがあまり数検では出ませんね

そのような問題は大学への数学の増刊号がかなり見やすくわかりやすいです!

  • 基礎の極意→例題多めのインプット型
  • 解放の探求→問題多めのアウトプット型→化石のような問題もあるw


 では、これらの問題があることがわかった上で逆関数の存在条件を考察する理由について考えます!

逆関数が存在することを当たり前にしていないか?

例えば2006年の東大の求積の問題で、逆関数が存在し〜って書いて大丈夫でしょうか。

具体的な関数設定がある場合やそうでない問題設定の場合でも、

  • あなたが求めた関数が本当に逆関数か?
  • または逆関数が存在するもとで求めているという流れを理解する必要性を感じます。
ナナナイル
なぜなら逆関数は1対1に対応する関数であるならばという条件付きで定義されるからです

ここで1対1に対応するということを0から証明するのは難しいので、僕はあることを提案します。

ある関数があって、その関数に逆関数が存在することをなるべく楽に示したい!

そういう時は、あなたが調べたい区間においてその関数の単調性を示せばOKです。

逆関数の存在は元の関数の単調性からすぐに示せる!

ある区間で関数が狭義の単調増加(あるいは狭義の単調減少)であるということは、

その区間でその関数の導関数の符号が変わらないことと同値ですね。

そのため、入試問題で逆関数の存在をスパッと言いたい場合は、一度微分してその符号変化をチェックすればおしまいです。

これなら短時間に答案に綺麗に書けますのでご参考になさってくださいね。

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nananairu

英検1級を目指す数検1級と漢検1級合格者の現役数学教師。 ジムに通ってマッチョを目指しています。 数検1級は高校生の時に合格しました! 合格のコツや数学の面白さをお伝えして参ります!

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