平方根の計算から2次方程式と2次関数までの覚えるべきことを総整理

日本の平均的な数学力について調べていて驚いてひっくり返ったので、まずはお読み下さい！

2012年には大学生の4人に１人が平均の意味を正しく理解していないという事実があり、

しかも日本人の平均的な数学力が平方根で止まっているということも以前に聞いたことがあります。

これってやばくないですか？

だって、2人に１人が、\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)っていくつでしょうか？と質問したら\(\sqrt{5}\)とか\(\sqrt{6}\)とかという珍解答が返ってくるんですよ。

これは結構大きな問題だと思うので、

平方根を多くの方に復習していただきたく思い、記事にさせていただきます。

平方根は中３のメインとなる内容で、高校数学を学習するための資格のようなイメージの分野です。

会話相手

なぜですか？平方根を特別視する理由って何でしょうか？

数検１級

実は、２次関数が中学数学のラストから高校数学の真の意味で基本となる分野なんだ。これは大学受験という観点で考えたときの僕の結論だよ。その２次関数を理解するためには２次方程式が解けなくては門前払いされるのだけれど、その２次方程式を理解するには平方根が分からないとアウトなんだ笑

その意味で、平方根は高校以上の数学（数検準2級以上）を行うための登竜門的な立ち位置と思っていただければOKです。

数学嫌いが増えるこの分野の本質部分を分かりやすくを教えます。

• 一度数学を諦めてしまったあなたも、
• 先取り学習したい！と燃えているあなたも

是非とも読んでいただきたく思います。

平方根は大学入試を見据えた場合は計算ができればOK

何かを２乗すると9です。その数って何でしょう？

小学生でかなり優秀な生徒が出し合っているような問題です。

普通の小学生は3だ！と答えます。

数検１級

しかし実は-３も答えなのですね。

このルートの定義をきちんと覚えましょうね。

当然\(\sqrt{0}\)=０です。

会話相手

質問です！\(\sqrt{1}\)=１や\(\sqrt{4}\)=２はわかります。でも\(\sqrt{2}\)や\(\sqrt{3}\)の値は分かりません！？

数検１級

良い質問だ！この理解が平方根を理解するためのすべてだと言ってよい。まず\(\sqrt{2}\)や\(\sqrt{3}\)の値は無理数といって分数で表せない。だけど数直線を考えると、大きさ的に次のようになっているよね？１<\(\sqrt{2}\)<\(\sqrt{3}\)<２。まずはそこを理解しよう。

ここはOKでしょうか？

次にいよいよ計算練習に行きます。

順に説明します。

まず\(\sqrt{3}\)はそれ自体で１つの値なのですね。

だから、\(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}\)=\(7\sqrt{3}\)

次です。引き算も同様に考えれば、\(2\sqrt{3}-5\sqrt{3}\)=\(-3\sqrt{3}\)

会話相手

最後の問題が分かりません！

数検１級

数学で大きな数字が出てきたら分割してみようか・・・。

8を素因数分解すると、\(2^3\)です。

だから\(\sqrt{8}\)=\(\sqrt{2}\)×\(\sqrt{2}\)×\(\sqrt{2}\)です。

会話相手

\(\sqrt{8}\)がこのように分けられると習いましたが納得できません！

数検１級

じゃあこの両辺を２乗してごらん。確かに一致するよね。 このようにルートの中（根号の中）が大きいときは素因数分解してルートの中を小さくして処理していけばOK。

最後にルートが入ったかけ算と割り算を勉強しましょう。

かけ算の問題は簡単です。割り算の問題は注意しましょう！

順に説明します。

\(2\sqrt{3}×5\sqrt{3}\)=\(10\sqrt{15}\)ですね。

次の問題ですが・・・。

会話相手

これってもう最初から答えじゃないんですか？

数検１級

いいえ。数学では分母にくる数字は算数的に意味がある数字でなくてはNGなんだよ。

例えば分母に−が来てはダメとかですね。

だから当然、分母に無理数が入ったらNGです。

だから分母を無理数でない有理数にする必要があります。

これを分母の有理化といいます。

有理数とは分数（分母と分子には整数が入る。分母が０はアウト！）で表される数と思っていただいてOKです。

\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)の式がありますね。

まず、分母が無理数なので、分母と分子に\(\sqrt{2}\)をかけると、

\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)になり答えです。

もっと骨がある問題は１対１対応の演習をごらんください。

ここまでやれば大学入試もOKです。

２次方程式の解の公式はしっかりマスターしよう！

9の平方根は±３です。

これって何かを2乗したら9になる数は？という問題ですよね？

つまり未知数を\(x\)をとしたときに\(x\)を含む等式（すべての\(x\)に対して成立するとは限らない）が\(x\)の方程式です。

そして\(x\)について2次式の方程式を\(x\)の２次方程式と言います。

ただし、この２次方程式を理解するには因数分解の知識が必要です。

が、因数分解の話はまた後日にして、

今回は解の公式で一発で解く！という手法を教えます。

ぶっちゃけ２次方程式で覚える公式は解の公式１つだけです。

\(ax^2+bx+c=0\)で、\(a\)≠0の時、

\(x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

これを２次方程式の解の公式と言います。

会話相手

なんだかめっちゃ面倒くさい公式ですね。

数検１級

それは仕方ないｗ誰もが通る道だよ。これは使っていくうちに覚えていく物だよ。

では、この公式を証明できますか？

この平方完成の記事をご覧になって左辺を平方完成すると解の公式がきれいに導けます。

では、実際に練習してみましょう。

まず最初の問題は\(a\)=1で\(b\)=5で\(c\)=6なので、解の公式に代入して、

\(x\)=−2,−3ですね。

２次関数は高校数学の真の意味で入り口である！

さて、中学数学のラストは２次関数です。

その理由は高校数学の入り口と繋がるからです。

実はこの全ては次の記事にぎゅっと凝縮されています。

たかだか10分程度でスピード感がある人は理解ができますので、オススメです。

大学入試へ向けた２次関数のパターンを網羅したいあなたは、

先程紹介しました『１対１対応の演習』をとてもオススメします。

東大（の典型問題レベル）の問題まで掲載されており、網羅度合いは抜群です。（神）

これでも簡単！というあなたは是非とも受験数学のテンプレートをご覧下さい。

お読みいただき、ありがとうございます。